b. Определенное количество

§ 101

Количество, существенно положенное с содержащейся в нем определенностью, исключающей все прочие, есть определенное количество (Quantum), ограниченное коли­чество.

Прибавление. Определенное количество есть наличное бытие количества, а чистое количество соответствует, на­против, бытию, степень же (которая будет рассмотрена далее) — для-себя-бытию. Что же касается перехода от чистого количества к определенному количеству, то он имеет свое основание в том, что, в то время как в чистом количестве различие как различие между непрерывно­стью и дискретностью имеется лишь в себе, в определен­ном количестве это различие, напротив, положено, и поло­жено так, что отныне количество вообще выступает как различенное или ограниченное. Но этим самым опреде­ленное количество распадается вместе с тем на неопреде­ленное множество определенных величин. Каждая из этих определенных величин, как отличная от других, образует единство, точно так же, как и последнее, рассматриваемое для себя, есть многое. Но таким образом определенное количество определено как число.

§ 102

Определенное количество находит свое развитие и пол­ную определенность в числе, которое подобно своему эле­менту — единице (Eins) — содержит в себе как свои качест­венные моменты множество (Anzahl) со стороны момента дискретности и единство (Einheit) — со стороны момента непрерывности.

Примечание. В арифметике обычно формы исчисления даются как случайные способы действия над числами. [247]
Если есть необходимость и смысл в этих действиях, то этот смысл заключается в некоем принципе, а последний может лежать лишь в тех определениях, которые содер­жатся в самом понятии числа; мы здесь вкратце укажем этот принцип. Определения понятия числа суть опреде­ленное множество и единство ( Einheit ), а само число есть единство (Einheit) их обоих. Но единство в применении к эмпирическим числам есть только их равенство ; таким образом, принцип арифметических действий должен со­стоять в том, что числа ставятся в отношение единства и определенного множества и устанавливается равенство этих определений.
Так как сами единицы ( die Eins ) или сами числа без­различны друг к другу, то единство (die Einheit ), в кото­рое они приводятся, вообще имеет видимость внешнего сочетания. Исчислять — значит поэтому вообще считать, и различие способов исчисления зависит только от каче­ственного характера чисел, а принципом этого последнего являются определения единства и множества.
Нумерация есть первое действие, это — составление числа вообще, сочетание скольких угодно единиц. Но арифметическое действие есть исчисление и сочетание не просто единиц, а того, что уже представляет собой число.
Числа суть непосредственно и сначала совершенно не­определенно числа вообще; они поэтому вообще неравны; сочетание или исчисление таких чисел есть сложение.

Ближайшее за этим определение состоит в том, что числа вообще равны, они, следовательно, составляют одно единство, и имеется определенное множество таких чисел: исчисление таких чисел есть умножение, причем безраз­лично, как распределяются между обоими числами, ме­жду сомножителями, определенное множество и единство, какой из них принимается за определенное множество и какой — за единство.
Третью определенность представляет собой, наконец. равенство определенного множества и единства. Сочета­ние определенных так чисел есть возведение в степень ближайшим образом — возведение в квадрат. Дальней­шее возведение в степень есть формальное продолжение умножения числа на само себя неопределенное количе­ство раз. Так как в этом третьем определении достигнуто полнейшее равенство единственного имеющегося разли­чия (множества и единства), то не может быть больше арифметических действий, чем эти три. Сочетанию чисел [248] соответствует разложение чисел, согласно тем же определенностям. Поэтому наряду с тремя указанными дейст­виями, которые могут быть названы положительными, су­ществуют также и три отрицательных действия.

Прибавление. Так как число есть вообще определённое количество в его полной определенности, то мы пользу­емся им для определения не только так называемых дискретных величин, но также и для так называемых непрерывных величин. Приходится поэтому также н ,в геометрии прибегать к помощи числа в тех случаях, в которых дело идет об указании определенных простран­ственных конфигураций и их отношений.